Chusmerío matemático Pi: LA LEYENDA DEL INDOMABLE
Aunque se lo usa incluso para cálculos astronómicos, nadie sabe exactamente qué valor tiene este numerito. Hace poco lograron descifrar más de cincuenta mil millones de sus decimales, pero todavía mantiene una gran cuota de misterio. Por Amanda Paltrinieri
Es raro, si no inexistente, el ámbito de nuestra vida en el que los números no tengan algo que ver: pesamos 50 kilos, por ejemplo; viajamos a 100 kilómetros por hora; tomamos 1 copa de vino, adelgazamos 1/2 kilo; compramos 1,5 litros de gaseosa... Desde cifras pequeñísimas como la que indica cuánto pesa una molécula de nuestro ADN hasta astronómicas como la cantidad de células que componen nuestro organismo (Nueva 346), los números forman parte tanto de la macroeconomía o la física de partículas cuanto de la vida privada e incluso de los afectos.
Sin embargo los números que tienen que ver con nuestro mundo cotidiano (¿miles?, ¿millones?) no son más que una pequeñísima parte de un universo infinito, como descubrieron algunos bochos de la Antigüedad. Gracias a que ellos y sus sucesores se devanaron los sesos, nosotros pudimos aprender la tabla del nueve y otras lindezas aritméticas. Pero hay un número en particular del que se habla desde hace cuatro mil años y al que ni con la computadora más grande del mundo se le pudo encontrar la vuelta. Es tan especial que se lo denomina con una letra y todavía desvela a los investigadores que tratan de descubrir si se ajusta a alguna regla. Ese número es
p (la letra griega "pi") y los libros lo definen como la relación entre una circunferencia y su radio.De los naturales a los reales
En la escuela nos enseñaron primero que hay un gran conjunto (infinito, también) de números, los naturales: 1; 2; 3... Después aprendimos que éstos eran parte de un grupo más grande: el de los enteros. En clase dibujábamos una recta, y sobre ella hacíamos unas marcas equidistantes con las que simbolizábamos los números: -3; -2; -1; 0; 1; 2...
Más adelante nos encontrábamos con que para hacer ciertas divisiones (10 ÷ 4, por ejemplo) lo que sabíamos no alcanzaba. Un día nos desayunamos con que existía otro conjunto más grande todavía: el de los racionales, cuyo nombre viene de "razón", que es otra manera de decir división. Son aquéllos que indican fracciones y se ubican, si los representamos sobre una recta, entre un número entero y el que le sigue.
Aquí la cosa empezaba a complicarse, porque las cuentas "difíciles" podían llegar a tener gran cantidad de decimales: así descubríamos que la cantidad de números que hay no sólo es infinita, sino que también hay infinitas fracciones entre dos números consecutivos. Entre 2 y 3, por ejemplo, está 2,5. Y entre 2,5 y 3 hay otro tanto: 2,56 está entre 2,5 y 2,6, que también es menor que tres. Y otro número más -digamos 2,561- está entre 2,56 y 2,57. Y 2,5613 está entre 2,561 y 2,562... Por eso se dice que las cifras que manejamos en nuestra vida cotidiana son sólo una parte insignificante del fantástico, inacabable universo de los números.
Para colmo descubrimos que algunos de ellos son muy caprichosos. Al dividir, por ejemplo, 1÷3 nos encontramos con una cifra que no se termina nunca: 0,33333333... Son los llamados decimales periódicos, que se caracterizan porque una de las cifras (o un grupo de las cifras) que los componen se repiten sin descanso: 2, 57575757; 6, 01222222...
Parecen locos, pero no dejan de ser racionales porque al fin y al cabo se los puede expresar como una razón (0,3333 es un tercio). En cambio hay otros que no "caben" en ninguna fracción. Éstos sí son de chaleco. Por eso se los conoce como irracionales. Junto con los números racionales forman el grupo de los reales.
3,1415926535
Los irracionales también son infinidad, pero algunos miembros del grupo son célebres, como la raíz cuadrada de 2, que se les apareció a los antiguos griegos cuando aplicaron el teorema de Pitágoras para averiguar la diagonal de un cuadrado cuyo lado tenía valor 1.
Pero el número irracional más famoso es sin duda
p, el número que nos sirve para calcular el área de un círculo (p multiplicado por radio al cuadrado) y la circunferencia (p multiplicado por diámetro o p por dos veces el radio).Tan famoso es que de él ya hablaban los babilonios hace cuatro mil años (aunque sin darle ese nombre, claro). En realidad, aunque intuyeron cómo había que hacer para calcularlo, sólo lograron arrimar el bochín a su valor. Mediante el método de calcular el perímetro de un hexágono inscripto en un círculo llegaron a la conclusión de que p equivalía a 3,25. Mejor le fue a Arquímedes, quien hacia 250 aC dio la primera aproximación correcta (3,141).Desde entonces hasta ahora, lo único que pudo hacerse es averiguar la mayor cantidad posible de sus decimales (una calculadora de once dígitos nos indicará 3,1415926535), porque este numerito se resiste a ser encasillado en ley alguna. Pero es comprensible la fascinación de los matemáticos por
p: ¿qué magia encierra ese número que, a pesar de que no se sabe exactamente su valor se lo usa en operaciones complejas como algunos cálculos astronómicos, estadísticos y de física cuántica?Curiosidades
Yasumasa Kanada es un investigador de la Universidad de Tokio que acaba de batir su propio récord en el cálculo de los decimales de
p: con 1.024 microprocesadores montados en paralelo obtuvo -después de diez horas- la grosera cantidad de cincuenta y un mil millones de decimales.¿Para qué semejante búsqueda? No es tanto por la precisión sino para tratar de encontrar alguna lógica, alguna norma que permita "apresar" a
p. Pero nada: los matemáticos le han adjudicado ciertas propiedades que han podido comprobar sin llegar a demostrarlas.Por lo pronto, consideran que las cifras de
p no están dadas al azar: el único consuelo de los investigadores es haber observado que p se aproxima a la normalidad.¿Qué es "normalidad" para los matemáticos? Digamos que se dice que un número es normal si todas las cifras o grupos de cifras que lo componen aparecen con las mismas frecuencias.
Para decirlo más claramente: que cada cifra del 0 al 9 aparezca una de cada diez veces; cada cifra de 00 a 99, una de cada cien; cada cifra de 000 a 999, una de cada mil.
Cuando los matemáticos analizaron el récord anterior de Kanada (en 1995 había encontrado seis mil cuatrocientos millones de decimales) llegaron a la conclusión de que
p "se aproxima a la normalidad", vale decir, que esa regla se cumple con bastante frecuencia. Pero incluso esto todavía tiene que ser demostrado. Por cierto, en la larguísima sucesión de cifras de p, pasado el decimal 710.000 aparecen seguidos siete números 3 (lo que no deja de sorprender pues la probabilidad de que se presenten siete 3 consecutivos en algún tramo de una sucesión aleatoria (al azar) es de 9.999.995 contra 1.Entonces, ¿qué?
Así las cosas,
p no es un número aleatorio ni deja de serlo (al fin y al cabo, nadie pudo encontrar un orden a las cifras que lo componen). Pero desde que la informática entró a tallar, puede haber esperanzas de aprisionarlo dentro de alguna regla.Quizá la herramienta sea una teoría llamada "de la complejidad algorítmica", enunciada por el lógico ruso Andrei Kolmogorov, quien introdujo la idea de que el azar (en difícil: "aleatoriedad") reconoce grados. La teoría dice que el grado de aleatoriedad de un objeto matemático es directamente proporcional a la complejidad del programa informático mínimo necesario para obtenerlo.
¿Qué significa esto? Que, por ejemplo, para la sucesión 0, 3, 6, 9 es suficiente pedir a la computadora que seleccione los números del 1 al 10 que resulten de multiplicar cualquier número por 3. En cambio, si tomamos una sucesión al azar, que no dependa de ninguna regla (por ejemplo 1, 102, 4, 35, 17, 68, 9401, 235, 3...), nos encontraremos con que es muy compleja, pues el programa necesario para obtenerla tiene que detallar número por número: para una sucesión azarosa de este tipo, muy grande o infinita, no hay computadora que valga pues el programa ocuparía una inmensa cantidad de memoria.
Ahora, ¿qué pasa con
p en este caso? En ese sentido, el dichoso número no es aleatorio: los programas de cálculo que usó Kanada pueden considerarse cortos.Ante todo, habrá que esperar a que se analicen las cifras obtenidas en el último récord y ver si encuentran alguna punta para determinar si es un número aleatorio o no y demostrar también si es un número normal como parece serlo. Mientras tanto, el increíble
p sigue siendo la llave para averiguar desde la superficie de un círculo cualquiera hasta la posición relativa de dos estrellas: casi, casi, un número mágico.© 1998